Lekcja 8: Arkusz kalkulacyjny - rozwiazywanie problemow matematycznych

Arkusz kalkulacyjny jako narzedzie matematyczne

Arkusz kalkulacyjny to nie tylko tabela z liczbami. Moze sluzyc jako potezne narzedzie do rozwiazywania problemow matematycznych, tworzenia symulacji i wizualizacji danych. Uczymy sie tu laczyc wiedze matematyczna z umiejetnosciami informatycznymi.

Tabelowanie funkcji i wykresy

Arkusz pozwala latwo stworzyc tabelke wartosci funkcji i wygenerowac jej wykres:

Przyklad: Wykres funkcji kwadratowej y = x^2 - 4x + 3

Kolumna A: wartosci x (np. od -1 do 5, co 0.5)
A1: x       A2: -1    A3: -0,5    A4: 0  ... A14: 5

Kolumna B: wartosci y
B1: y       B2: =A2^2-4*A2+3

Skopiuj B2 w dol -> automatyczne obliczenie dla kazdego x
Zaznacz A1:B14 -> Wstaw wykres -> Wykres XY (punktowy)

Wynik: parabola z wierzcholkiem w punkcie (2, -1)
Miejsca zerowe widoczne na wykresie: x = 1 i x = 3

Rozwiazywanie rownan metoda iteracyjna

Mozemy przyblizenie rozwiazania rownania znalezc, tabelujac funkcje i szukajac zmiany znaku (metoda bisekcji w arkuszu):

Przyklad: Rozwiaz x^3 - 2x - 5 = 0

Krok 1: Tabeluj f(x) = x^3 - 2x - 5 dla x od 0 do 3 (co 0.5)
Krok 2: Znajdz, gdzie f(x) zmienia znak -> miedzy x=2 (f=-1) i x=2.5 (f=5.625)
Krok 3: Zawez: tabeluj od 2.0 do 2.5 co 0.05
Krok 4: Zawez dalej... az do zadanej dokladnosci

Albo uzyj narzedzia "Szukaj wyniku" (Goal Seek):
Menu: Dane > Szukaj wyniku
- Komorka docelowa: komorka z formula f(x)
- Wartosc docelowa: 0
- Komorka zmieniana: komorka z wartoscia x

Statystyka opisowa

Arkusz kalkulacyjny ma wbudowane funkcje statystyczne pozwalajace na pelna analize danych:

Podstawowe miary:
=SREDNIA(A1:A100)          // srednia arytmetyczna
=MEDIANA(A1:A100)          // mediana (wartosc srodkowa)
=DOMINANTA(A1:A100)        // dominanta (najczesciej wystepujaca)
=ODCH.STANDARDOWE(A1:A100) // odchylenie standardowe
=WARIANCJA(A1:A100)        // wariancja

Miary pozycyjne:
=MIN(A1:A100)              // minimum
=MAX(A1:A100)              // maksimum
=KWARTYL(A1:A100;1)        // pierwszy kwartyl (Q1)
=KWARTYL(A1:A100;3)        // trzeci kwartyl (Q3)
=PERCENTYL(A1:A100;0,9)    // 90. percentyl

Zliczanie:
=ILE.LICZB(A1:A100)        // ile komorek z liczbami
=ILE.NIEPUSTYCH(A1:A100)   // ile niepustych komorek

Symulacja - metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo to technika wykorzystujaca losowe probkowanie do przyblizonego rozwiazywania problemow. Przyklad: obliczenie liczby PI.

Przyklad: Szacowanie PI metoda Monte Carlo

Idea: Losujemy punkty w kwadracie [0,1] x [0,1].
Sprawdzamy, ile wpada do cwiartki kola (x^2 + y^2 <= 1).
PI ≈ 4 * (punkty w kole / wszystkie punkty)

Kolumna A: =LOS()                     // losowe x
Kolumna B: =LOS()                     // losowe y
Kolumna C: =A1^2+B1^2                 // x^2 + y^2
Kolumna D: =JEZELI(C1<=1;1;0)         // 1 jesli w kole

Powtorz dla 1000 wierszy.
PI ≈ 4 * SREDNIA(D1:D1000)

Wynik: okolo 3.14 (im wiecej probek, tym dokladniej)

Ciagi i sumy czesciowe

Przyklad: Ciag arytmetyczny a_n = 3 + 2*(n-1)
A1: n    B1: a_n     C1: Suma czesciowa
A2: 1    B2: =3+2*(A2-1)    C2: =B2
A3: 2    B3: =3+2*(A3-1)    C3: =C2+B3

Przyklad: Procent skladany
Kapital: 10000, Oprocentowanie: 5% rocznie
A1: Rok  B1: Kapital
A2: 0    B2: 10000
A3: 1    B3: =B2*1,05
A4: 2    B4: =B3*1,05
... (skopiuj w dol na 20 lat)